تمرین ۸ خواص مثلث و متوازیالاضلاع حسابان یازدهم
$A(-۱۱, ۱۳)$، $B(-۳, ۳)$، $C(۳, ۱)$ سه رأس مثلث $ABC$ میباشند.
الف) طول عمودی را که از رأس $B$ بر میانه نظیر رأس $C$ وارد میشود، به دست آورید.
ب) مختصات رأس $D$ را چنان تعیین کنید که $ABCD$ یک متوازیالاضلاع باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم
این یک تمرین ترکیبی در هندسه تحلیلی است که هم نیاز به محاسبه **فاصله نقطه از خط** و هم **نقطه وسط** دارد. 📐
---
### الف) طول عمود از $B$ بر میانه نظیر رأس $C$
**طول عمود** (ارتفاع) برابر با **فاصله نقطه $B$ از خطی است که میانه نظیر $C$ را شامل میشود**.
**۱. مختصات نقطه وسط ضلع $AB$ ($M$)**: میانه نظیر $C$ از $C$ به وسط $AB$ وصل میشود. $M$ وسط $AB$ است:
$$M = \left(\frac{-۱۱ + (-۳)}{۲}, \frac{۱۳ + ۳}{۲}\right) = \left(\frac{-۱۴}{۲}, \frac{۱۶}{۲}\right) = \mathbf{(-۷, ۸)}$$
**۲. معادله خط میانه $CM$**: خطی که از $C(۳, ۱)$ و $M(-۷, ۸)$ میگذرد.
* **شیب $m_{CM}$**:
$$m_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{۸ - ۱}{-۷ - ۳} = \frac{۷}{-۱۰} = \mathbf{-۰.۷}$$
* **معادله خط $CM$**: با شیب $-۰.۷$ از $C(۳, ۱)$:
$$y - ۱ = -۰.۷ (x - ۳) \implies y = -۰.۷x + ۲.۱ + ۱ \implies -۰.۷x - y + ۳.۱ = ۰$$
برای حل سادهتر، معادله را بدون اعشار مینویسیم (ضرب در $-۱۰$):
$$\mathbf{۷x + ۱۰y - ۳۱ = ۰}$$
**۳. فاصله $B(-۳, ۳)$ از خط $CM$**: از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده میکنیم.
* $a=۷, b=۱۰, c=-۳۱$ و $(x_۰, y_۰) = (-۳, ۳)$
$$\text{طول عمود} = \frac{|۷(-۳) + ۱۰(۳) - ۳۱|}{\sqrt{۷^۲ + ۱۰^۲}} = \frac{|-۲۱ + ۳۰ - ۳۱|}{\sqrt{۴۹ + ۱۰۰}}$$
$$\text{طول عمود} = \frac{|-۲۲|}{\sqrt{۱۴۹}} = \mathbf{\frac{۲۲}{\sqrt{۱۴۹}}}$$
---
### ب) مختصات رأس $D$ برای متوازیالاضلاع $ABCD$
در متوازیالاضلاع $ABCD$، **قطرها یکدیگر را نصف میکنند**. یعنی نقطه وسط قطر $AC$ باید با نقطه وسط قطر $BD$ برابر باشد.
**۱. نقطه وسط قطر $AC$ ($M_{AC}$)**:
$$M_{AC} = \left(\frac{-۱۱ + ۳}{۲}, \frac{۱۳ + ۱}{۲}\right) = \left(\frac{-۸}{۲}, \frac{۱۴}{۲}\right) = \mathbf{(-۴, ۷)}$$
**۲. نقطه وسط قطر $BD$ ($M_{BD}$)**:
فرض میکنیم $D = (x_D, y_D)$.
$$M_{BD} = \left(\frac{x_D + (-۳)}{۲}, \frac{y_D + ۳}{۲}\right)$$
**۳. برابری مختصات**: $M_{AC} = M_{BD}$:
* **برای مختصات $x$**: $$\frac{x_D - ۳}{۲} = -۴ \implies x_D - ۳ = -۸ \implies \mathbf{x_D = -۵}$$
* **برای مختصات $y$**: $$\frac{y_D + ۳}{۲} = ۷ \implies y_D + ۳ = ۱۴ \implies \mathbf{y_D = ۱۱}$$
**نتیجه**:
* **طول عمود**: $\mathbf{\frac{۲۲}{\sqrt{۱۴۹}}}$
* **مختصات رأس $D$**: $\mathbf{(-۵, ۱۱)}$
تمرین ۹ تعیین نقطه روی خط با استفاده از مجموع فواصل حسابان یازدهم
نقطهای روی خط $y = ۲x$ تعیین کنید که مجموع فاصلههای آن تا مبدأ مختصات و نقطه $A(۲, ۴)$ برابر ۵ باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم
فرض میکنیم نقطه مورد نظر $\mathbf{P(x, y)}$ باشد. چون $P$ روی خط $y=۲x$ قرار دارد، میتوانیم مختصات آن را به صورت $\mathbf{P(x, ۲x)}$ تعریف کنیم.
### گام اول: تشکیل معادله فاصله
* **نقطه $P$**: $(x, ۲x)$
* **مبدأ مختصات ($O$)**: $(۰, ۰)$
* **نقطه $A$**: $(۲, ۴)$
**شرط مسئله**: $\mathbf{d(P, O) + d(P, A) = ۵}$
**۱. فاصله $PO$ ($d_۱$)**:
$$d_۱ = \sqrt{(x - ۰)^۲ + (۲x - ۰)^۲} = \sqrt{x^۲ + ۴x^۲} = \mathbf{\sqrt{۵x^۲} = |x|\sqrt{۵}}$$
**۲. فاصله $PA$ ($d_۲$)**:
$$d_۲ = \sqrt{(x - ۲)^۲ + (۲x - ۴)^۲}$$
$$d_۲ = \sqrt{(x - ۲)^۲ + (۲(x - ۲))^۲} = \sqrt{(x - ۲)^۲ + ۴(x - ۲)^۲}$$
$$d_۲ = \sqrt{۵(x - ۲)^۲} = \mathbf{|x - ۲|\sqrt{۵}}$$
**معادله نهایی**:
$$|x|\sqrt{۵} + |x - ۲|\sqrt{۵} = ۵$$
### گام دوم: حل معادله قدر مطلقی
**۱. سادهسازی**: دو طرف را بر $\sqrt{۵}$ تقسیم میکنیم:
$$\mathbf{|x| + |x - ۲| = \frac{۵}{\sqrt{۵}} = \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳۶}$$
**۲. تعیین صفرها**: صفرهای قدر مطلق $x=۰$ و $x=۲$ هستند.
* **حالت ۱ ($\mathbf{x < ۰}$)**:
* $|x| = -x$, $|x-۲| = -(x-۲) = -x+۲$
* معادله: $(-x) + (-x+۲) = \sqrt{۵} \implies -۲x = \sqrt{۵} - ۲ \implies \mathbf{x = \frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}}$
* **بررسی**: چون $\sqrt{۵} \approx ۲.۲۳۶$， $x \approx \frac{۲-۲.۲۳۶}{۲} \approx -۰.۱۱۸$ است. **$x < ۰$**، پس قابل قبول است.
* **حالت ۲ ($\mathbf{۰ \le x < ۲}$)**:
* $|x| = x$, $|x-۲| = -(x-۲) = -x+۲$
* معادله: $(x) + (-x+۲) = \sqrt{۵} \implies ۲ = \sqrt{۵}$
* **بررسی**: $۲ \approx ۲.۲۳۶$ **نادرست** است. در این بازه **جوابی وجود ندارد**.
* **حالت ۳ ($\mathbf{x \ge ۲}$)**:
* $|x| = x$, $|x-۲| = x-۲$
* معادله: $(x) + (x-۲) = \sqrt{۵} \implies ۲x = \sqrt{۵} + ۲ \implies \mathbf{x = \frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}}$
* **بررسی**: $x \approx \frac{۲+۲.۲۳۶}{۲} \approx ۲.۱۱۸$. **$x \ge ۲$**، پس قابل قبول است.
### گام سوم: تعیین مختصات نهایی
نقطه $P(x, ۲x)$ است.
* **نقطه اول ($P_۱$):** $x_۱ = \frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}$
$$y_۱ = ۲x_۱ = ۲ - \sqrt{۵}$$
$$\mathbf{P_۱(\frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}, ۲ - \sqrt{۵})}$$
* **نقطه دوم ($P_۲$):** $x_۲ = \frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}$
$$y_۲ = ۲x_۲ = ۲ + \sqrt{۵}$$
$$\mathbf{P_۲(\frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}, ۲ + \sqrt{۵})}$$
**نتیجه**: دو نقطه با مختصات فوق، شرط مسئله را ارضا میکنند.
تمرین ۱۰ طول پارهخط در مثلث حسابان یازدهم
نقاط $A(۴, ۲)$ و $B(۱, -۱)$ و $C(-۱, ۲)$ سه رأس مثلث $ABC$ هستند. اگر $H$ و $M$ به ترتیب پای ارتفاع $AH$ و میانه $AM$ باشند، طول $MH$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم
برای محاسبه طول $MH$ (فاصله بین پای ارتفاع و میانه)، باید مختصات نقاط $M$ (نقطه وسط $BC$) و $H$ (پای عمود از $A$ بر $BC$) را به دست آوریم.
---
### ۱. محاسبه مختصات $M$ (پای میانه $AM$)
$M$ نقطه وسط ضلع $BC$ است. از فرمول نقطه وسط استفاده میکنیم:
$$M = \left(\frac{x_B + x_C}{۲}, \frac{y_B + y_C}{۲}\right) = \left(\frac{۱ + (-۱)}{۲}, \frac{-۱ + ۲}{۲}\right)$$
$$M = \left(\frac{۰}{۲}, \frac{۱}{۲}\right) = \mathbf{(۰, ۰.۵)}$$
---
### ۲. محاسبه مختصات $H$ (پای ارتفاع $AH$)
$H$ نقطه برخورد ارتفاع $AH$ با خط $BC$ است. $AH$ بر $BC$ عمود است.
**الف) معادله خط $BC$**:
* **شیب $m_{BC}$**:
$$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{۲ - (-۱)}{-۱ - ۱} = \frac{۳}{-۲} = \mathbf{-\frac{۳}{۲}}$$
* **معادله خط $BC$**: با شیب $-\frac{۳}{۲}$ از $B(۱, -۱)$:
$$y - (-۱) = -\frac{۳}{۲} (x - ۱) \implies ۲(y + ۱) = -۳(x - ۱)$$
$$۲y + ۲ = -۳x + ۳ \implies \mathbf{۳x + ۲y - ۱ = ۰}$$
**ب) معادله خط $AH$ (ارتفاع)**:
* **شیب $m_{AH}$**: چون $AH \perp BC$: $m_{AH} = -\frac{۱}{m_{BC}} = -\frac{۱}{-\frac{۳}{۲}} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$
* **معادله خط $AH$**: با شیب $\frac{۲}{۳}$ از $A(۴, ۲)$:
$$y - ۲ = \frac{۲}{۳} (x - ۴) \implies ۳(y - ۲) = ۲(x - ۴)$$
$$۳y - ۶ = ۲x - ۸ \implies \mathbf{۲x - ۳y - ۲ = ۰}$$
**ج) مختصات $H$**: حل دستگاه معادلات $BC$ و $AH$:
$$\begin{cases} ۳x + ۲y = ۱ \\ ۲x - ۳y = -۲ \end{cases}$$
(اولین معادله را در ۳ و دومین را در ۲ ضرب میکنیم):
$$\begin{cases} ۹x + ۶y = ۳ \\ 4x - ۶y = -۴ \end{cases}$$
با جمع دو معادله: $۱۳x = -۱ \implies x_H = \mathbf{-\frac{۱}{۱۳}}$
برای $y_H$: $۳(-\frac{۱}{۱۳}) + ۲y = ۱ \implies -\frac{۳}{۱۳} + ۲y = ۱ \implies ۲y = ۱ + \frac{۳}{۱۳} = \frac{۱۶}{۱۳} \implies y_H = \mathbf{\frac{۸}{۱۳}}$
$$H = \left(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳}\right)$$
---
### ۳. محاسبه طول $MH$
از فرمول فاصله دو نقطه $M(۰, ۰.۵) = (۰, \frac{۱}{۲})$ و $H(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳})$ استفاده میکنیم:
$$MH = \sqrt{(x_H - x_M)^۲ + (y_H - y_M)^۲}$$
$$MH = \sqrt{\left(-\frac{۱}{۱۳} - ۰\right)^۲ + \left(\frac{۸}{۱۳} - \frac{۱}{۲}\right)^۲}$$
$$MH = \sqrt{\left(\frac{-۱}{۱۳}\right)^۲ + \left(\frac{۱۶ - ۱۳}{۲۶}\right)^۲}$$ (مخرج مشترک برای $y$: ۲۶)
$$MH = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۳^۲}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۹}{۶۷۶}}$$
$$MH = \sqrt{\frac{۴}{۶۷۶} + \frac{۹}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱۳}{۶۷۶}}$$
$$\text{چون } ۶۷۶ = ۲۶^۲ \text{ و } ۱۳ = \sqrt{۱۳}^۲ ext{ است:}$$
$$MH = \frac{\sqrt{۱۳}}{\sqrt{۶۷۶}} = \frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}$$
**نتیجه**: طول $MH$ برابر $\mathbf{\frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}}$ است.
